Berechnen Sie die n-te Dreieckszahl sofort mit der Formel \(T(n)=n(n+1)/2\). Sehen Sie die Berechnung, die Dreieckszahlenfolge, Beispiele und erfahren Sie, wie man Dreieckszahlen erkennt.
Geben Sie eine positive ganze Zahl \(n\) ein, um \(T(n)\) zu berechnen.
Der Rechner akzeptiert ganze Zahlen von 1 bis 1.000.000.000. Die vollständige Folge wird nur für kleinere Eingaben angezeigt.
Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die als Summe der ersten \(n\) positiven ganzen Zahlen dargestellt werden kann.
Die ersten Dreieckszahlen sind:
Zum Beispiel:
Daher ist 15 die fünfte Dreieckszahl: \[ T(5)=15 \]
Die Standardformel für die n-te Dreieckszahl lautet:
Diese Formel entspricht der Summe:
Mit der Formel kann eine Dreieckszahl direkt berechnet werden, ohne alle ganzen Zahlen von 1 bis \(n\) einzeln zu addieren.
| n | T(n) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| 4 | 10 |
| 5 | 15 |
| 6 | 21 |
| 7 | 28 |
| 8 | 36 |
| 9 | 45 |
| 10 | 55 |
| 11 | 66 |
| 12 | 78 |
| 13 | 91 |
| 14 | 105 |
| 15 | 120 |
| 16 | 136 |
| 17 | 153 |
| 18 | 171 |
| 19 | 190 |
| 20 | 210 |
| 21 | 231 |
| 22 | 253 |
| 23 | 276 |
| 24 | 300 |
| 25 | 325 |
Eine positive ganze Zahl \(x\) ist genau dann eine Dreieckszahl, wenn \(8x+1\) eine Quadratzahl ist.
Dies ergibt sich aus der Gleichung:
Betrachten wir beispielsweise die Zahl \(15\):
Daher ist 15 eine Dreieckszahl. Ihr Index ist:
Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die als Summe der ersten \(n\) positiven ganzen Zahlen geschrieben werden kann. Die n-te Dreieckszahl lautet \(T(n)=n(n+1)/2\).
Die Formel lautet: \[ T(n)=\frac{n(n+1)}{2}. \]
Die 10. Dreieckszahl ist: \[ T(10)=\frac{10(11)}{2}=55. \]
Ja. 15 ist die fünfte Dreieckszahl, weil \(1+2+3+4+5=15\).
Nein. Obwohl 100 eine positive ganze Zahl ist, erfüllt sie die Bedingung für eine Dreieckszahl nicht, da \(8(100)+1=801\) keine Quadratzahl ist.
Berechnen Sie \(8x+1\). Wenn das Ergebnis eine Quadratzahl ist, dann ist \(x\) eine Dreieckszahl.
Eine Dreieckszahl ist ein einzelner Wert, beispielsweise 15. Die Dreieckszahlenfolge ist die vollständige Folge \(1,3,6,10,15,21,\ldots\).