Berechnen Sie die Summe der ersten n Fibonacci-Zahlen mit beliebig hoher Genauigkeit. Geben Sie eine positive ganze Zahl ein und erhalten Sie das Ergebnis mithilfe der Fibonacci-Summenformel.
Geben Sie die Anzahl der Fibonacci-Glieder ein, die Sie addieren möchten. Große Werte werden mithilfe der beliebig genauen BCMath-Arithmetik von PHP unterstützt.
F(1) + F(2) + ... + F(n),
wobei
F(1)=1
und
F(2)=1
gilt.
Die Fibonacci-Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied durch Addition der beiden vorhergehenden Glieder entsteht. Nach der in diesem Rechner verwendeten Konvention beginnt die Folge mit:
Die Rekursionsformel lautet:
mit den Anfangswerten
F(1)=1 und
F(2)=1.
Fibonacci-Zahlen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik, bei Algorithmen, in der Kombinatorik, bei Rekursionsformeln und in zahlreichen mathematischen Untersuchungen von Zahlenfolgen und Mustern.
Eine wichtige Identität der Fibonacci-Folge lautet:
Diese Identität bedeutet, dass die Summe nicht berechnet werden muss, indem jede Fibonacci-Zahl einzeln addiert wird. Stattdessen berechnet der Rechner die Fibonacci-Zahl an Position n + 2 und zieht anschließend 1 ab.
Beispiel für die ersten fünf Fibonacci-Glieder:
Diese Beispiele zeigen, wie die Formel für Fibonacci-Summen angewendet wird.
1 + 1 + 2 + 3 + 5
= 12F(12) − 1
= 144F(22) − 1
= 17710Fibonacci-Zahlen wachsen sehr schnell. Obwohl die Rekursionsformel einfach ist, steigt die Anzahl der Stellen mit zunehmendem n stark an.
Gewöhnliche PHP-Ganzzahlen können keine beliebig großen Ganzzahlen darstellen. Dieser Rechner verwendet daher die BCMath-Erweiterung, um Ganzzahlen als Dezimalzeichenfolgen mit beliebig hoher Genauigkeit zu verarbeiten.
Dadurch kann der Rechner Fibonacci-Zahlen verarbeiten, die weit über den Bereich gewöhnlicher Ganzzahltypen hinausgehen.
Eine Fibonacci-Zahl kann Tausende oder sogar Zehntausende von Stellen enthalten. Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit verhindert Rundungs- und Überlauffehler, die bei der Speicherung sehr großer Ganzzahlen in gewöhnlichen numerischen Variablen auftreten können.
Fibonacci-Summen sind in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Informatik nützlich.
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F(1)=1 und F(2)=1 lautet:
F(1)+F(2)+...+F(n)=F(n+2)-1.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....
Jedes Glied nach den ersten beiden ist die Summe
der beiden vorhergehenden Glieder.
F(1)+F(2)+...+F(n)=F(n+2)-1.
Dadurch kann die Summe direkt aus einer Fibonacci-Zahl
berechnet werden, ohne alle vorherigen Glieder
einzeln zu addieren.
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