Berechnen Sie die n-te Ableitung einer Funktion Schritt für Schritt, einschließlich der zweiten, dritten, vierten und weiterer Ableitungen.
Geben Sie eine Funktion \(f(x)\) ein, wählen Sie die Ableitungsordnung und berechnen Sie das Ergebnis symbolisch.
Eine höhere Ableitung entsteht, indem eine Funktion mehr als einmal abgeleitet wird. Die erste Ableitung wird als \(f'(x)\), die zweite Ableitung als \(f''(x)\) und die \(n\)-te Ableitung als \(f^{(n)}(x)\) geschrieben.
Betrachten wir zum Beispiel:
Ein Polynom wird nach genügend vielen Ableitungen schließlich null. Andere Funktionen wie \(e^x\) können dagegen unendlich viele nicht-null Ableitungen liefern.
Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung:
Die zweite Ableitung wird häufig verwendet, um die Krümmung einer Funktion zu untersuchen. In Anwendungen kann sie außerdem Größen wie die Beschleunigung beschreiben, wenn die erste Ableitung die Geschwindigkeit darstellt.
Die dritte Ableitung entsteht durch Ableiten der zweiten Ableitung:
Allgemeiner lautet die \(n\)-te Ableitung:
Höhere Ableitungen kommen unter anderem in Taylorreihen, Differentialgleichungen, Physik, Ingenieurwissenschaften, mathematischer Modellierung und Näherungen höherer Ordnung vor.
Für eine Potenzfunktion \(x^m\) lautet die erste Ableitung:
Durch wiederholte Anwendung erhält man:
Bei einem Polynom mit einem nicht-negativen ganzzahligen Exponenten wird die Ableitung schließlich null, sobald die Ableitungsordnung den Grad des Polynoms überschreitet.
Die Exponentialfunktion \(e^x\) bleibt beim Ableiten unverändert:
Die Ableitungen des Sinus wiederholen sich in einem Zyklus aus vier Schritten:
Auch der Kosinus folgt einem ähnlichen Zyklus aus vier Schritten:
Für \(f(x)=x^3\):
Für \(f(x)=\sin(x)\):
Der Rechner unterstützt derzeit die folgenden symbolischen Formen:
x
x^n,
2x^3,
-5x^4
x^4+2x^2-3x
sin(x),
cos(x),
tan(x)
exp(x)
ln(x)
Produkte von Funktionen, verschachtelte Funktionen und allgemeine Ausdrücke mit Kettenregel werden derzeit nicht unterstützt. Verwenden Sie für zuverlässige Ergebnisse die oben aufgeführten Formate.
Eine höhere Ableitung ist eine Ableitung, die mehr als einmal gebildet wurde. Zum Beispiel ist \(f''(x)\) die zweite Ableitung, \(f'''(x)\) die dritte Ableitung und \(f^{(n)}(x)\) die n-te Ableitung.
Die n-te Ableitung ist das Ergebnis, das entsteht, wenn eine Funktion \(n\)-mal abgeleitet wird. Wenn beispielsweise die Ordnung 4 ausgewählt wird, berechnet der Rechner \(f^{(4)}(x)\).
Geben Sie Ihre Funktion ein und setzen Sie die Ableitungsordnung auf 2. Der Rechner zeigt sowohl die erste als auch die zweite Ableitung an.
Geben Sie Ihre Funktion ein und setzen Sie die Ableitungsordnung auf 3. Der Rechner berechnet nacheinander die erste, zweite und dritte Ableitung.
Ein Polynom wird schließlich null. Zum Beispiel wird \(x^3\) nach drei Ableitungen zu \(6\) und nach der vierten Ableitung zu \(0\).
Ja. Höhere Ableitungen kommen in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften vor. Wenn beispielsweise die Position einmal nach der Zeit abgeleitet wird, erhält man die Geschwindigkeit; eine weitere Ableitung liefert die Beschleunigung.