Berechne Nachfolger, Addition, Multiplikation, Potenzierung und Tetration. Entdecke die Knuth-Pfeilnotation und extrem schnell wachsende Zahlen.
Gib eine nichtnegative Basis a, einen nichtnegativen Wert b ein und wähle eine Hyperoperation von H₀ bis H₄.
Verschiedene mathematische Quellen verwenden teilweise unterschiedliche Konventionen für die Nummerierung von Hyperoperationen. Daher wird die hier verwendete Konvention ausdrücklich angegeben.
Hyperoperationen bilden eine Hierarchie zunehmend mächtiger arithmetischer Operationen. Beginnend mit dem Nachfolger setzt sich die Hierarchie über Addition, Multiplikation, Potenzierung und Tetration bis hin zu höheren Operationen fort.
Die grundlegende Idee besteht darin, dass jede Stufe die direkt darunterliegende Operation wiederholt anwendet.
| Stufe | Name | Notation | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| H₀ | Nachfolger | b + 1 | 1 zu b addieren. |
| H₁ | Addition | a + b | Wiederholter Nachfolger. |
| H₂ | Multiplikation | a × b | Wiederholte Addition. |
| H₃ | Potenzierung | a^b | Wiederholte Multiplikation. |
| H₄ | Tetration | a ↑↑ b | Wiederholte Potenzierung. |
| H₅ | Pentation | a ↑↑↑ b | Wiederholte Tetration. |
| H₆ | Hexation | a ↑↑↑↑ b | Wiederholte Pentation. |
Tetration ist die Hyperoperation direkt oberhalb der Potenzierung. Sie wendet die Potenzierung wiederholt an, um einen Potenzturm aufzubauen.
3 ↑↑ 3 = 3^(3^3)
= 3^27
= 7.625.597.484.987
Die Höhe des Potenzturms ist entscheidend.
Aus diesem Grund sollten Hyperoperationen nicht einfach in gewöhnliche PHP-Gleitkommazahlen umgewandelt werden. Gleitkommaarithmetik verliert bei extrem großen Ganzzahlen sehr schnell ihre Genauigkeit.
Die Knuth-Pfeilnotation von Donald Knuth bietet eine kompakte Möglichkeit, extrem große Operationen zu beschreiben.
| Notation | Operation | Beispiel |
|---|---|---|
| a ↑ b | Potenzierung | 2 ↑ 5 = 2⁵ = 32 |
| a ↑↑ b | Tetration | 2 ↑↑ 4 = 65.536 |
| a ↑↑↑ b | Pentation | Wiederholte Tetration |
| a ↑↑↑↑ b | Hexation | Wiederholte Pentation |
Ein zusätzlicher Pfeil erhöht nicht einfach nur die Zahl. Er führt zu einer wesentlich schnelleren Wachstumsstufe.
Addition → wiederholter Nachfolger
Multiplikation → wiederholte Addition
Potenzierung → wiederholte Multiplikation
Tetration → wiederholte Potenzierung
Jede neue Stufe wendet die darunterliegende Operation wiederholt an. Dadurch kann eine Erhöhung der Operationsstufe zu einer enormen Vergrößerung des Ergebnisses führen, selbst wenn die Eingabewerte klein sind.
Deshalb sind exakte Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit und symbolische Notation besonders wichtig, wenn man einen Hyperoperationsrechner entwickelt.
H₀(7,5) = 5 + 1 = 6
H₁(7,5) = 7 + 5 = 12
H₂(7,5) = 7 × 5 = 35
H₃(2,10) = 2¹⁰ = 1.024
H₄(2,4) = 2 ↑↑ 4 = 65.536
H₄(2,5) = 2^65.536
Hyperoperationen stehen in engem Zusammenhang mit Arithmetik, Zahlentheorie, Kombinatorik und schnell wachsenden Zahlenfolgen. Entdecke diese verwandten Rechner von Summe.org:
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Eine Hyperoperation ist eine Hierarchie arithmetischer Operationen, die den Nachfolger, die Addition, die Multiplikation und die Potenzierung bis zur Tetration und zu noch höheren Operationen erweitert.
Auf dieser Seite ist H0 der Nachfolger, H1 die Addition, H2 die Multiplikation, H3 die Potenzierung und H4 die Tetration. Mathematische Quellen können unterschiedliche Indexierungskonventionen verwenden, daher wird die hier verwendete Konvention ausdrücklich angegeben.
Tetration ist wiederholte Potenzierung. Zum Beispiel bedeutet 3 ↑↑ 3 = 3^(3^3), was 7.625.597.484.987 ergibt.
Die Knuth-Pfeilnotation bietet eine kompakte Möglichkeit, extrem schnell wachsende Operationen zu beschreiben. Ein Pfeil steht für Potenzierung, zwei Pfeile für Tetration, drei Pfeile für Pentation und vier Pfeile für Hexation.
3 ↑↑ 3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7.625.597.484.987.
In der üblichen Hyperoperationshierarchie folgt auf die Tetration die Pentation. Sie wird durch drei Aufwärtspfeile dargestellt: a ↑↑↑ b.
Pentation ist die Hyperoperation über der Tetration und kann vereinfacht als wiederholte Tetration verstanden werden. Ihre Werte werden extrem schnell enorm groß.
Jede neue Stufe wendet die darunterliegende Operation wiederholt an. Die Addition wiederholt den Nachfolger, die Multiplikation wiederholt die Addition, die Potenzierung wiederholt die Multiplikation und die Tetration wiederholt die Potenzierung.
Kleine Hyperoperationen können exakt berechnet werden. Bei enorm großen Werten wäre die Ausgabe jeder einzelnen Dezimalstelle unpraktisch. Deshalb verwendet dieser Rechner stattdessen symbolische Notation und Größenabschätzungen, anstatt ungenaue Gleitkommaarithmetik zu verwenden.