Summe.org » Calculus » Rechner für partielle Ableitungen

Rechner für partielle Ableitungen

Berechne partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen nach x, y, oder z. Verwende Polynomausdrücke, Klammern, Potenzen, trigonometrische Funktionen, Logarithmen, Exponentialfunktionen, Quadratwurzeln und vieles mehr. Berechne eine Ableitung, alle ersten partiellen Ableitungen, second or mixed partielle Ableitungen, and evaluate die Ableitungen an einem Punkt aus.

Beispiele: x^2*y + y^3 , sin(x*y)+e^x , (x+y)^2
Unterstützte Schreibweise
Verwende 2x or 2*x, Potenzen wie x^2, parentheses, und Funktionen wie sin, cos, tan, ln, exp, and sqrt.
Kurzes Beispiel: Enter x^2*y + y^3 , choose x, and calculate. Das Ergebnis ist 2xy weil y beim Ableiten nach x als Konstante behandelt wird.

Was ist eine partielle Ableitung?

Eine partielle Ableitung beschreibt, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen verändert, wenn sich eine Variable ändert, während die anderen Variablen konstant gehalten werden. Zum Beispiel für f(x,y) , die beiden ersten partiellen Ableitungen sind ∂f/∂x and ∂f/∂y .

\[ \frac{\partial f}{\partial x} \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial f}{\partial y} \]

Für eine Funktion mit drei Variablen f(x,y,z) , gibt es drei erste partielle Ableitungen:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} \]

Regeln für partielle Ableitungen

Potenzregel

\[ \frac{\partial}{\partial x}x^n = nx^{n-1} \]

Konstantenregel

\[ \frac{\partial}{\partial x}C = 0 \]

Summen- und Differenzregeln

\[ \frac{\partial}{\partial x}(f+g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} \]

Produktregel

\[ \frac{\partial}{\partial x}(fg) = g\frac{\partial f}{\partial x} + f\frac{\partial g}{\partial x} \]

Quotientenregel

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{ g f_x - f g_x }{ g^2 } \]

Kettenregel

\[ \frac{\partial}{\partial x} F(g) = F'(g) \frac{\partial g}{\partial x} \]

Beispiele für partielle Ableitungen

Beispiel 1

For \[ f(x,y)=x^2y+y^3 \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy \]

Beispiel 2

For \[ f(x,y)=3x^2+4xy+y^2 \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4x+2y \]

Beispiel 3

For \[ f(x,y,z)=xyz \]

\[ \frac{\partial f}{\partial z} = xy \]

Beispiel 4 — Kettenregel

For \[ f(x,y)=\sin(xy) \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = y\cos(xy) \]

Unterstützte mathematische Ausdrücke

Der Rechner verwendet einen symbolischen Parser, anstatt den eingegebenen Ausdruck als PHP-Code auszuführen.

Kategorie Beispiele
Variablen x, y, z
Arithmetik +, -, *, /
Implizite Multiplikation 2x, xy, xyz, 2sin(x)
Potenzen x^2, x^-2, (x+y)^2
Trigonometrische Funktionen sin, cos, tan, cot, sec, csc
Inverse trigonometrische Funktionen asin, acos, atan
Hyperbolische Funktionen sinh, cosh, tanh
Logarithmen und Exponentialfunktionen ln(x), log(x), exp(x), e^x
Wurzeln und Beträge sqrt(x), abs(x)
Konstanten pi, e

Zweite und gemischte partielle Ableitungen

Eine zweite partielle Ableitung leitet eine Funktion zweimal ab. Beispiele sind:

\[ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}, \qquad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}, \qquad \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} \]

Eine gemischte partielle Ableitung leitet nach zwei verschiedenen Variablen ab. Bei hinreichend glatten Funktionen stimmen gemischte partielle Ableitungen often agree:

\[ \frac{\partial^2f} {\partial x\partial y} = \frac{\partial^2f} {\partial y\partial x} \]

Partielle Ableitungen und der Gradient

Der Gradient fasst alle ersten partiellen Ableitungen zu einem vector. For f(x,y,z) :

\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \]

Für eine separate Gradientenberechnung verwende den Gradientenrechner .

Verwandte Rechner für mehrdimensionale Analysis

Gradientenrechner Rechner für Richtungsableitungen Divergenzrechner Rotationsrechner Jacobi-Matrix-Rechner Hesse-Matrix-Rechner Rechner für kritische Punkte Ableitungsrechner Rechner für Ableitungen höherer Ordnung Rechner für Ableitungen an einem Punkt Rechner für implizite Ableitungen Rechner für trigonometrische Ableitungen Rechner für bestimmte Integrale Rechner für unbestimmte Integrale

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine partielle Ableitung?

Eine partielle Ableitung beschreibt, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen in Bezug auf eine Variable verändert, während die anderen Variablen konstant gehalten werden.

Was bedeutet ∂f/∂x?

∂f/∂x ist die partielle Ableitung von f nach x. Beim Ableiten nach x werden y und z als Konstanten behandelt.

Was ist der Unterschied zwischen einer Ableitung und einer partiellen Ableitung?

Eine gewöhnliche Ableitung wird normalerweise für eine Funktion einer Variablen verwendet. Eine partielle Ableitung wird für eine Funktion mehrerer Variablen verwendet und beschreibt die Änderung in Bezug auf eine ausgewählte Variable.

Kann ich alle partiellen Ableitungen gleichzeitig berechnen?

Yes. Select Alle ersten partiellen Ableitungen to calculate ∂f/∂x, ∂f/∂y, and ∂f/∂z.

Welche Funktionen werden unterstützt?

Der Rechner unterstützt x, y, z, arithmetische Operationen, Potenzen, Klammern, implizite Multiplikation, trigonometrische Funktionen, inverse trigonometrische Funktionen, hyperbolische Funktionen, Logarithmen, Exponentialfunktionen, Quadratwurzeln und Beträge.

Kann ich eine partielle Ableitung an einem Punkt berechnen?

Ja. Aktiviere die Auswertung an einem Punkt und gib numerische Werte für die im Ausdruck verwendeten Variablen ein.

Was ist der Gradient?

Der Gradient ist der Vektor der ersten partiellen Ableitungen. Für f(x,y,z) ist der Gradient (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z).

Was sind gemischte partielle Ableitungen?

Eine gemischte partielle Ableitung leitet nach two variables, such as ∂²f/(∂x∂y).