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Partielle Integration Schritt für Schritt Analysis Kostenloser Online-Rechner

Rechner für partielle Integration

Führe eine partielle Integration Schritt für Schritt mit der Formel \[ \int u\,dv = uv-\int v\,du \] durch. Gib \(u\) und \(dv\) ein, um zu sehen, wie \(u\) abgeleitet, \(dv\) integriert und anschließend alles in die Formel eingesetzt wird.

Partielle Integration berechnen

Gib die Teile ein, die du für \(u\) und \(dv\) verwenden möchtest. Häufige Beispiele sind x mit sin(x) oder x mit exp(x).

Gib den Funktionsteil von \(dv\) ein; der Rechner ergänzt automatisch \(dx\).

Formel der partiellen Integration

Die partielle Integration basiert auf der Produktregel der Differentialrechnung. Die grundlegende Formel lautet:

\[ \boxed{ \int u\,dv = uv-\int v\,du } \]

Mit dieser Methode wird ein Integral in ein anderes Integral umgewandelt. Ziel ist normalerweise, \(u\) und \(dv\) so zu wählen, dass das verbleibende Integral \[ \int v\,du \] einfacher zu berechnen ist als das ursprüngliche Integral.

Wie funktioniert die partielle Integration?

Die Methode besteht aus vier wesentlichen Schritten:

  1. \(u\) auswählen.
  2. \(u\) ableiten, um \(du\) zu erhalten.
  3. \(dv\) auswählen und integrieren, um \(v\) zu erhalten.
  4. Alles in \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) einsetzen.
Wichtige Idee: Wähle \(u\) so, dass die Ableitung den Ausdruck vereinfacht. Gleichzeitig sollte \(dv\) so gewählt werden, dass es sich relativ einfach integrieren lässt.

Wie wählt man \(u\)? LIATE

Eine häufig verwendete Faustregel für die Wahl von \(u\) ist LIATE. Sie bietet eine sinnvolle Reihenfolge, wenn ein Integral ein Produkt verschiedener Funktionstypen enthält.

L – Logarithmisch
Beispiele: \(\ln(x)\)
I – Invers trigonometrisch
Beispiele: \(\arctan(x)\), \(\arcsin(x)\)
A – Algebraisch
Beispiele: \(x\), \(x^2\), \(3x+1\)
T – Trigonometrisch
Beispiele: \(\sin(x)\), \(\cos(x)\)
E – Exponentiell
Beispiele: \(e^x\), \(\exp(x)\)

LIATE ist eine praktische Faustregel und keine mathematische Voraussetzung. Bei manchen Integralen gibt es mehrere sinnvolle Möglichkeiten, \(u\) und \(dv\) zu wählen.

Beispiele für partielle Integration

Beispiel 1: \(\int x\sin(x)\,dx\)

Eine häufige Wahl ist:

\[ u=x, \qquad dv=\sin(x)\,dx \]

Dann gilt:

\[ du=dx, \qquad v=-\cos(x) \]

Mit der Formel für die partielle Integration erhalten wir:

\[ \int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x) + \int\cos(x)\,dx \]
\[ \int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x)+\sin(x)+C \]

Beispiel 2: \(\int x\cos(x)\,dx\)

Wir wählen:

\[ u=x, \qquad dv=\cos(x)\,dx \]

Daraus folgt:

\[ du=dx, \qquad v=\sin(x) \]

Der Schritt der partiellen Integration lautet:

\[ \int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \int\sin(x)\,dx \]

Also:

\[ \int x\cos(x)\,dx = x\sin(x)+\cos(x)+C \]

Unterstützte häufige Ausdrücke

Der Rechner erkennt eine Reihe häufiger einvariabler mathematischer Ausdrücke bei der Bestimmung von \(du\) und \(v\).

Polynome
x, x^2, x^3, x^4
Trigonometrische Funktionen
sin(x), cos(x), tan(x)
Exponentialfunktionen
e^x, exp(x)
Logarithmische Funktionen
ln(x), log(x)
Quadratwurzel
sqrt(x)
Produkte
xsin(x), xcos(x), xexp(x)
Hinweis: Die symbolische Analysis umfasst wesentlich mehr als eine feste Sammlung von Musterregeln. Bei Ausdrücken, die nicht direkt erkannt werden, zeigt der Rechner die entsprechende Ableitungs- oder Integrationsoperation an, anstatt ein geschlossenes Ergebnis vorzutäuschen, das tatsächlich nicht berechnet wurde.

Wann ist partielle Integration nützlich?

Die partielle Integration eignet sich besonders für Integrale, die Produkte verschiedener Funktionen enthalten. Häufige Beispiele sind:

Mehrfache partielle Integration

Bei manchen Integralen muss die partielle Integration mehr als einmal angewendet werden. Dies kommt häufig vor, wenn ein Polynom mit einer Exponential- oder trigonometrischen Funktion multipliziert wird.

Beim Integrieren eines Produkts aus \(x^2\) und \(e^x\) wird das Polynom beispielsweise durch wiederholtes Ableiten schließlich zu null:

\[ x^2 \rightarrow 2x \rightarrow 2 \rightarrow 0 \]

Dadurch ist die wiederholte partielle Integration eine natürliche Methode für viele Integrale mit Produkten aus Polynomen und Exponential- oder trigonometrischen Funktionen.

Partielle Integration bei bestimmten Integralen

Die gleiche Methode kann auch bei bestimmten Integralen angewendet werden. Anstatt eine beliebige Integrationskonstante \(C\) hinzuzufügen, wird die Formel an den Integrationsgrenzen ausgewertet:

\[ \int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du \]

Wenn du ein numerisches Ergebnis für ein bestimmtes Integral benötigst, verwende den Rechner für bestimmte Integrale oder den Rechner für numerische Integration .

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Integration und Differentiation

Die partielle Integration ist direkt mit der Differentiation über die Produktregel verbunden. Die Produktregel lautet:

\[ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \]

Durch Umstellen und Integrieren dieser Beziehung erhält man die Formel der partiellen Integration.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist partielle Integration?

Partielle Integration ist eine Methode der Analysis, mit der ein Integral eines Produkts verschiedener Funktionen umgeformt wird. Die Formel lautet: \[ \int u\,dv=uv-\int v\,du. \]

Wie wähle ich \(u\) und \(dv\)?

Eine häufig verwendete Faustregel ist LIATE: logarithmisch, invers trigonometrisch, algebraisch, trigonometrisch und exponentiell. Bei vielen Integralen eines Produkts ist die Funktion, die in dieser Reihenfolge weiter vorne steht, ein guter Kandidat für \(u\).

Was bedeutet \(dv\)?

\(dv\) bezeichnet den Teil des Integrals, der integriert wird, um \(v\) zu erhalten. Sobald \(v\) bestimmt wurde, kann die Formel der partiellen Integration angewendet werden.

Warum gibt es ein Minuszeichen in der Formel?

Das Minuszeichen entsteht durch das Umstellen der Produktregel. Ausgehend von \[ d(uv)=u\,dv+v\,du \] erhält man durch Umstellen und Integrieren: \[ \int u\,dv=uv-\int v\,du. \]

Kann man die partielle Integration mehrmals anwenden?

Ja. Manche Integrale erfordern mehrere Anwendungen der Methode. Produkte aus Polynomen und Exponential- oder trigonometrischen Funktionen sind häufige Beispiele.

Löst dieser Rechner jedes Problem zur partiellen Integration?

Der Rechner ist auf häufige symbolische Ausdrücke ausgelegt und zeigt den Aufbau der partiellen Integration. Für beliebige symbolische Integrale ist ein vollständiges Computeralgebrasystem erforderlich, da möglicherweise weitere Integrationsmethoden benötigt werden.

Welchen Rechner sollte ich für ein numerisches bestimmtes Integral verwenden?

Verwende den Rechner für bestimmte Integrale oder den Rechner für numerische Integration , wenn du einen numerischen Wert über ein bestimmtes Intervall benötigst.

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