Nutzen Sie diesen kostenlosen Rechner für ganzzahlige Partitionen, um alle Möglichkeiten zu finden, eine positive ganze Zahl als Summe positiver ganzer Zahlen zu schreiben. Der Rechner ermittelt außerdem die Partitionsfunktion \(p(n)\), die die Anzahl der verschiedenen ganzzahligen Partitionen zählt.
Geben Sie eine ganze Zahl von 1 bis 25 ein. Der Rechner erzeugt jede ganzzahlige Partition und zeigt die Gesamtzahl der Partitionen an.
Maximale Eingabe: 25. Mit zunehmender Eingabezahl steigt die Anzahl der zu erzeugenden Partitionen schnell an.
Eine ganzzahlige Partition ist eine Möglichkeit, eine positive ganze Zahl als Summe positiver ganzer Zahlen zu schreiben, wobei die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt.
Die Partitionen von 5 sind beispielsweise:
Daher gilt:
Die Ausdrücke \(4+1\) und \(1+4\) stellen dieselbe ganzzahlige Partition dar, da die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt.
Die Partitionsfunktion, geschrieben als \(p(n)\), zählt die Anzahl der verschiedenen ganzzahligen Partitionen von \(n\).
Einige Anfangswerte sind:
Mit zunehmendem \(n\) wächst die Anzahl der Partitionen schnell. Zum Beispiel:
| n | p(n) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |
| 5 | 7 |
| 6 | 11 |
| 7 | 15 |
| 8 | 22 |
| 9 | 30 |
| 10 | 42 |
| 15 | 176 |
| 20 | 627 |
| 25 | 1958 |
Der Rechner verwendet einen rekursiven Algorithmus zur Erzeugung von Partitionen. In jedem Schritt wird der nächste Summand der Partition ausgewählt. Dabei wird sichergestellt, dass der nächste Summand nicht größer als der vorherige Summand ist.
Dadurch wird verhindert, dass verschiedene Anordnungen derselben Zahlen mehrfach gezählt werden.
Nachdem beispielsweise \(4+1\) erzeugt wurde, erzeugt der Rechner nicht zusätzlich \(1+4\), da beide Ausdrücke dieselbe Partition darstellen.
Der Algorithmus verwendet außerdem Memoisierung, um bereits berechnete Zwischenergebnisse wiederzuverwenden. Dadurch ist die Berechnung wesentlich effizienter, als jede mögliche Kombination unabhängig voneinander zu erzeugen.
Ganzzahlige Partitionen und Kompositionen stellen beide eine ganze Zahl als Summe dar, behandeln die Reihenfolge jedoch unterschiedlich.
Bei einer Partition spielt die Reihenfolge keine Rolle.
Bei einer Komposition spielt die Reihenfolge eine Rolle. Daher sind \(4+1\) und \(1+4\) unterschiedliche Kompositionen.
Daher gilt: \[ p(3)=3 \]
Daher gilt: \[ p(4)=5 \]
Eine ganzzahlige Partition ist eine Möglichkeit, eine positive ganze Zahl als Summe positiver ganzer Zahlen zu schreiben, wobei die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt.
Die Partitionsfunktion \(p(n)\) gibt die Anzahl der verschiedenen ganzzahligen Partitionen von \(n\) an.
Die Zahl 5 hat 7 ganzzahlige Partitionen: \(5\), \(4+1\), \(3+2\), \(3+1+1\), \(2+2+1\), \(2+1+1+1\) und \(1+1+1+1+1\).
Nein. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Beispielsweise gelten \(4+1\) und \(1+4\) als dieselbe Partition.
Der wichtigste Unterschied ist die Reihenfolge. Bei einer ganzzahligen Partition spielt die Reihenfolge keine Rolle. Bei einer Komposition werden unterschiedliche Reihenfolgen separat gezählt.
Die Zahl 10 hat 42 ganzzahlige Partitionen. Daher gilt: \[ p(10)=42. \]
Die Anzahl der ganzzahligen Partitionen steigt schnell mit zunehmender Eingabezahl. Da dieser Rechner jede einzelne Partition anzeigt, können größere Eingaben zu einer sehr umfangreichen Ergebnisliste führen. Die aktuelle Grenze hält das Tool praktisch und reaktionsschnell.