Quadratsummen Rechner

Berechnen Sie die Summe der Quadrate aufeinanderfolgender ganzer Zahlen von \(A\) bis \(B\). Sehen Sie jedes Quadrat, die Gesamtsumme und die verwendete Formel zur Überprüfung des Ergebnisses.

Quadratsumme berechnen

Geben Sie den Startwert \(A\) und den Endwert \(B\) ein. Der Rechner addiert \(A^2+(A+1)^2+\cdots+B^2\).

Geben Sie ganze Zahlen von 0 bis 10.000 ein, mit \(A \leq B\).

Was ist die Quadratsumme?

Die Quadratsumme ist das Ergebnis der Addition der Quadrate aufeinanderfolgender ganzer Zahlen. Für die ersten \(n\) positiven ganzen Zahlen lautet der Ausdruck:

\[ 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 \]

Es gibt eine geschlossene Formel, mit der das Ergebnis berechnet werden kann, ohne jede einzelne Zahl quadrieren und anschließend addieren zu müssen:

\[ \boxed{ 1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} } \]

Diese Formel ist eine der wichtigsten endlichen Summenformeln und wird unter anderem in Algebra, Zahlentheorie, Analysis und diskreter Mathematik verwendet.

Quadratsummenformel

In Sigma-Schreibweise lautet die Summe der ersten \(n\) Quadrate:

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

Die Formel kann auch folgendermaßen geschrieben werden:

\[ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

Im Zähler stehen die drei Faktoren \(n\), \(n+1\) und \(2n+1\). Anschließend wird durch \(6\) geteilt.

Quadratsumme von A bis B

Wenn der Bereich nicht bei \(1\) beginnt, können zwei kumulative Summen verwendet werden. Zuerst wird die Summe bis \(B\) berechnet. Danach wird die Summe bis \(A-1\) abgezogen.

\[ \sum_{k=A}^{B}k^2 = \sum_{k=1}^{B}k^2 - \sum_{k=1}^{A-1}k^2 \]

Durch Einsetzen der Quadratsummenformel ergibt sich:

\[ \boxed{ \sum_{k=A}^{B}k^2 = \frac{B(B+1)(2B+1)}{6} - \frac{(A-1)A(2A-1)}{6} } \]

Damit kann eine vollständige Quadratsumme für einen Bereich berechnet werden, ohne jedes einzelne Quadrat manuell zu erzeugen.

Beispiele für Quadratsummen

Beispiel 1: Die ersten fünf Quadrate

Die ersten fünf positiven Quadratzahlen sind:

\[ 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 \] \[ = 1+4+9+16+25 \] \[ =55 \]

Mit der Formel:

\[ \frac{5(6)(11)}{6} = 55 \]

Beispiel 2: Quadrate von 3 bis 6

\[ 3^2+4^2+5^2+6^2 \] \[ = 9+16+25+36 \] \[ =86 \]

Beispiel 3: Summe der ersten 10 Quadrate

\[ \sum_{k=1}^{10}k^2 = \frac{10(11)(21)}{6} \] \[ =385 \]

So berechnen Sie eine Quadratsumme

Angenommen, Sie möchten folgende Summe berechnen:

\[ 4^2+5^2+6^2+7^2 \]

Berechnen Sie zunächst die kumulative Summe bis \(7\):

\[ \sum_{k=1}^{7}k^2 = \frac{7(8)(15)}{6} = 140 \]

Berechnen Sie anschließend die kumulative Summe bis \(3\):

\[ \sum_{k=1}^{3}k^2 = \frac{3(4)(7)}{6} = 14 \]

Ziehen Sie die beiden Summen voneinander ab:

\[ 140-14=126 \]

Daher gilt:

\[ 4^2+5^2+6^2+7^2=126 \]

Quadratsummen und Sigma-Schreibweise

Die Sigma-Schreibweise bietet eine kompakte Möglichkeit, eine Quadratsumme darzustellen:

\[ \sum_{k=1}^{n}k^2 \]

Für einen Bereich, der bei \(A\) beginnt und bei \(B\) endet:

\[ \sum_{k=A}^{B}k^2 \]

Die entsprechende geschlossene Formel lautet:

\[ \sum_{k=A}^{B}k^2 = \frac{B(B+1)(2B+1)}{6} - \frac{(A-1)A(2A-1)}{6} \]

Wichtige Eigenschaften von Quadratsummen

Geschlossene Formel Die ersten \(n\) Quadrate können direkt mit \(n(n+1)(2n+1)/6\) berechnet werden.
Berechnung eines Bereichs Jeder zusammenhängende Zahlenbereich kann durch die Differenz zweier kumulativer Quadratsummen berechnet werden.
Polynomische Formel Die Quadratsummenformel ist ein Polynom dritten Grades in \(n\).
Verbindung zu Kubikzahlen Quadratsummen gehören zu den Standard-Potenzsummen und können direkt mit Kubik- und höheren Potenzsummen verglichen werden.

So verwenden Sie den Quadratsummen Rechner

  1. Geben Sie die Startzahl \(A\) ein.
  2. Geben Sie die Endzahl \(B\) ein.
  3. Stellen Sie sicher, dass \(A\leq B\) gilt.
  4. Klicken Sie auf Quadratsumme berechnen.
  5. Überprüfen Sie die Gesamtsumme, die einzelnen Quadrate und die Berechnung mit der Formel.

Wenn Sie beispielsweise \(A=1\) und \(B=5\) eingeben, wird folgende Summe berechnet:

\[ 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55 \]

Quadratsumme im Vergleich zur Kubiksumme

Beide sind Beispiele für Potenzsummen. Der wichtigste Unterschied ist der Exponent.

\[ \text{Quadratsumme: } \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

\[ \text{Kubiksumme: } \sum_{k=1}^{n}k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]

Für höhere Potenzen werden die entsprechenden Formeln zunehmend komplexer. Summe bietet außerdem einen allgemeinen Potenzsummen Rechner für Potenzsummen.

Weitere Summe Rechner

Entdecken Sie weitere Rechner für Summen, Reihen, Folgen und mathematische Berechnungen auf Summe.org.

Kubiksumme Potenzsummen Rechner Sigma Rechner Reihen summieren Dreieckszahlen Rechner Primzahlsummen Rechner Fibonacci-Summe Summe mit Bedingungen Fakultätssumme Teilersumme Kumulative Summe Summe ungerader Zahlen Summe gerader Zahlen Summe einer Pascal-Zeile Binomialsumme Beweis von Summenformeln

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für die Quadratsumme?

Die Summe der ersten \(n\) positiven Quadratzahlen lautet:

\[ 1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

Wie berechnet man die Quadratsumme von A bis B?

Für nichtnegative ganze Zahlen \(A\) und \(B\), wobei \(A\leq B\) gilt:

\[ \sum_{k=A}^{B}k^2 = \frac{B(B+1)(2B+1)}{6} - \frac{(A-1)A(2A-1)}{6} \]

Wie groß ist die Summe der ersten 10 Quadrate?

Die Summe beträgt:

\[ 1^2+2^2+\cdots+10^2 = 385 \]

Wie groß ist die Quadratsumme von 1 bis 100?

Mit der Quadratsummenformel:

\[ \sum_{k=1}^{100}k^2 = \frac{100(101)(201)}{6} = 338350 \]

Kann ich Quadrate innerhalb eines Zahlenbereichs berechnen?

Ja. Geben Sie die Start- und Endzahl in den Rechner ein. Er berechnet jedes Quadrat innerhalb des Bereichs und liefert anschließend die Gesamtsumme.

Was ist \(0^2\)?

Null zum Quadrat ist null:

\[ 0^2=0 \]

Wenn daher eine Quadratsumme bei null beginnt, verändert das Einbeziehen von null die Gesamtsumme nicht.