Summationsrechner – Summe einer Reihe
Verwende diesen kostenlosen Summationsrechner, um die Summe einer arithmetischen oder geometrischen Reihe zu berechnen. Berechne endliche Reihen Schritt für Schritt oder ermittle die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe, wenn sie konvergiert. Der Rechner zeigt die Formel, das Einsetzen der Werte, das Ergebnis und eine Vorschau der Reihe.
Summe einer Reihe berechnen
Was ist eine Summation?
Eine Summation ist der Vorgang, bei dem eine Folge von Zahlen addiert wird. In der Mathematik wird eine Summation häufig mit dem großen griechischen Buchstaben Sigma, Σ, dargestellt. Eine Reihe entsteht, wenn die Terme einer Folge addiert werden.
Zum Beispiel hat die Reihe 2 + 4 + 6 + 8 + 10 fünf Terme und ihre Summe beträgt 30.
Die benötigte Formel hängt von der Art der Reihe ab. Zwei der häufigsten Arten sind arithmetische Reihen und geometrische Reihen.
Arithmetische Reihe
Eine arithmetische Reihe entsteht durch das Addieren der Terme einer arithmetischen Folge. Jeder aufeinanderfolgende Term unterscheidet sich um denselben konstanten Betrag vom vorherigen Term.
Wenn der erste Term a, die gemeinsame Differenz d und die Anzahl der Terme n beträgt, lautet die Summe:
Eine gleichwertige Formel lautet:
Dabei ist l der letzte Term der arithmetischen Folge.
Beispiel für eine arithmetische Reihe
Betrachte:
Der erste Term ist a = 3, die gemeinsame Differenz ist d = 4 und es gibt n = 5 Terme.
Geometrische Reihe
Eine geometrische Reihe ist die Summe der Terme einer geometrischen Folge. Anstatt eine konstante Differenz zu addieren, wird jeder Term durch Multiplikation des vorherigen Terms mit demselben gemeinsamen Quotienten erzeugt.
Für eine endliche geometrische Reihe mit dem ersten Term a, dem gemeinsamen Quotienten r und n Termen lautet die Formel:
Diese Formel gilt, wenn r ≠ 1. Wenn r = 1, ist jeder Term gleich dem ersten Term, daher gilt:
Beispiel für eine geometrische Reihe
Betrachte:
Hier gilt a = 2, r = 3 und n = 4.
Unendliche geometrische Reihe
Eine unendliche geometrische Reihe besitzt unendlich viele Terme. Anders als bei einer endlichen Reihe existiert ihre Summe nur dann, wenn die Reihe konvergiert.
Für eine geometrische Reihe a + ar + ar² + ar³ + … lautet die Konvergenzbedingung:
Wenn |r| < 1, lautet die unendliche Summe:
Beispiel für eine unendliche geometrische Reihe
Betrachte:
Der erste Term ist 8 und der gemeinsame Quotient ist 1/2. Da |1/2| < 1 gilt, konvergiert die Reihe.
Wenn |r| ≥ 1, besitzt eine unendliche geometrische Reihe im Allgemeinen keine endliche Summe. Der Rechner meldet daher, dass die Reihe divergiert, anstatt ein irreführendes numerisches Ergebnis zurückzugeben.
Arithmetische vs. geometrische Reihe
| Merkmal | Arithmetisch | Geometrisch |
|---|---|---|
| Wie sich die Terme ändern | Eine konstante Differenz wird addiert | Mit einem konstanten Quotienten wird multipliziert |
| Wichtiger Wert | Gemeinsame Differenz d | Gemeinsamer Quotient r |
| Beispiel | 3, 7, 11, 15 | 3, 6, 12, 24 |
| Endliche Summe | Sn = n/2[2a + (n−1)d] | Sn = a(1−rn)/(1−r) |
| Unendliche Summe | Im Allgemeinen nicht endlich | Konvergiert, wenn |r| < 1 |
Endliche Reihe vs. unendliche Reihe
Endliche Reihe
Eine endliche Reihe enthält eine bestimmte Anzahl von Termen. Zum Beispiel:
Die Anzahl der Terme ist bekannt, sodass eine Formel für endliche Reihen direkt verwendet werden kann.
Unendliche geometrische Reihe
Eine unendliche geometrische Reihe setzt sich unbegrenzt fort:
Eine endliche Summe existiert nur, wenn der gemeinsame Quotient |r| < 1 erfüllt, abgesehen von der trivialen Nullreihe.
So verwendest du den Summationsrechner
- Wähle Arithmetische Reihe oder Geometrische Reihe.
- Wähle Endliche Reihe oder bei einer geometrischen Reihe Unendliche geometrische Reihe.
- Gib den ersten Term a ein.
- Gib bei einer arithmetischen Reihe die gemeinsame Differenz d oder bei einer geometrischen Reihe den gemeinsamen Quotienten r ein.
- Gib bei einer endlichen Reihe die Anzahl der Terme n ein.
- Klicke auf Summe berechnen.
Der Rechner zeigt anschließend das Ergebnis zusammen mit der passenden mathematischen Formel und den einzelnen Berechnungsschritten an.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Formel für die Summe einer arithmetischen Reihe?
Die Standardformel lautet Sn = n/2[2a + (n − 1)d] , wobei a der erste Term, d die gemeinsame Differenz und n die Anzahl der Terme ist.
Was ist die Formel für die Summe einer geometrischen Reihe?
Für eine endliche geometrische Reihe mit r ≠ 1 verwendest du Sn = a(1 − rn)/(1 − r) . Wenn r = 1 gilt, ist die Summe einfach an.
Wann konvergiert eine unendliche geometrische Reihe?
Eine unendliche geometrische Reihe konvergiert, wenn |r| < 1 gilt. Ihre Summe ist a/(1 − r).
Kann die gemeinsame Differenz negativ sein?
Ja. Negative gemeinsame Differenzen sind zulässig. Zum Beispiel ist 20, 15, 10, 5 eine arithmetische Folge mit d = −5.
Kann der gemeinsame Quotient negativ sein?
Ja. Eine geometrische Folge kann einen negativen Quotienten besitzen. Zum Beispiel hat 4, −2, 1, −0.5 den gemeinsamen Quotienten −1/2.
Was ist der Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe?
Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Eine Reihe entsteht durch das Addieren der Terme einer Folge. Zum Beispiel ist 2, 4, 6, 8 eine Folge, während 2 + 4 + 6 + 8 eine Reihe ist.
Verwandte Mathematikrechner
Entdecke weitere Rechner für Summationen, Folgen, Zahlentheorie, Ableitungen und Integration:
Weitere Mathematiktools
Summe.org bietet kostenlose Online-Mathematikrechner für Summationen, Folgen, Zahlentheorie, Ableitungen, Integration und weitere mathematische Aufgaben.
Besuche die Mathematikrechner-Startseite von Summe.org, um die vollständige Sammlung der verfügbaren Werkzeuge zu entdecken.