Summe gerader Zahlen berechnen
Wählen Sie eine Berechnung aus, geben Sie Ihre Zahlen ein und erhalten Sie sofort ein exaktes Ergebnis mithilfe einer arithmetischen Formel statt einer langen Schleife.
Formel für die Summe gerader Zahlen
Wenn Sie die Summe aller positiven geraden Zahlen von 1 bis n berechnen möchten, bestimmen Sie zunächst, wie viele gerade Zahlen es gibt. Diese Anzahl ist:
Die geraden Zahlen lauten anschließend 2, 4, 6, ..., 2k . Wenn man 2 ausklammert, erhält man:
Da die Summe der ersten k positiven ganzen Zahlen k(k + 1) / 2 beträgt, kürzt sich die 2 mit dem Nenner:
Daher lautet die Hauptformel: floor(n / 2) × (floor(n / 2) + 1) . Damit erhalten Sie das exakte Ergebnis, ohne jede einzelne gerade Zahl addieren zu müssen.
Summe der ersten n geraden Zahlen
Verwechseln Sie „gerade Zahlen bis n“ nicht mit „den ersten n geraden Zahlen“. Die ersten n geraden Zahlen sind:
Ihre Summe lässt sich besonders einfach berechnen:
Beispiel: Die ersten 10 geraden Zahlen enden bei 20 und ihre Summe beträgt 10 × 11 = 110.
Summe gerader Zahlen zwischen zwei Zahlen
Für einen Bereich wie 20 bis 100 verwenden Sie die erste gerade Zahl ab dem unteren Endpunkt und die letzte gerade Zahl bis zum oberen Endpunkt. Die entstehende Folge ist eine arithmetische Folge mit der konstanten Differenz 2.
Summe = Anzahl der Terme × (erste gerade Zahl + letzte gerade Zahl) / 2
Beispiel: 20 + 22 + 24 + ... + 100 enthält 41 Terme. Daher beträgt die Summe 41 × (20 + 100) / 2 = 2.460.
Beispiele für Summen gerader Zahlen
| n | Gerade Zahlen | Anzahl | Summe |
|---|---|---|---|
| 10 | 2 + 4 + 6 + 8 + 10 | 5 | 30 |
| 20 | 2 + 4 + ... + 20 | 10 | 110 |
| 50 | 2 + 4 + ... + 50 | 25 | 650 |
| 100 | 2 + 4 + ... + 100 | 50 | 2,550 |
| 1,000 | 2 + 4 + ... + 1,000 | 500 | 250,500 |
Summe gerader Zahlen vs. ungerader Zahlen
Die Summen gerader und ungerader Zahlen besitzen eng miteinander verwandte Formeln. Für die ersten n geraden Zahlen lautet die Summe n(n + 1). Für die ersten n ungeraden Zahlen beträgt die Summe n².
2 + 4 + 6 + ... + 2n
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
Warum die Formel funktioniert
Die Folge 2, 4, 6, ..., 2k ist eine arithmetische Folge. Jeder Term erhöht sich genau um 2. Wenn man den ersten und letzten Term zusammenfasst, erhält man dieselbe Summe wie beim Zusammenfassen des zweiten und vorletzten Terms usw.
Es gibt k Terme. Mit der Formel für arithmetische Reihen ergibt sich daher:
Deshalb kann der Rechner auch große Eingaben effizient verarbeiten: Er verwendet die geschlossene arithmetische Formel, anstatt jede gerade Zahl einzeln zu addieren.
Nützliche Eigenschaften von Summen gerader Zahlen
- Anzahl positiver gerader Zahlen bis n: floor(n / 2).
- Größte gerade Zahl bis n: 2 × floor(n / 2).
- Erste n gerade Zahlen: 2, 4, 6, ..., 2n.
- Summe der ersten n geraden Zahlen: n(n + 1).
- Durchschnitt von 2 bis 2n: n + 1.
- Die Gesamtsumme ist immer gerade: Jeder Summand ist durch 2 teilbar.
- Für einen Bereich: Verwenden Sie die Formel für eine arithmetische Reihe mit der konstanten Differenz 2.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel für die Summe gerader Zahlen?
Wenn k = floor(n / 2) gilt, beträgt die Summe der positiven geraden Zahlen von 1 bis n k(k + 1) .
Wie lautet die Summe der ersten n geraden Zahlen?
Die ersten n geraden Zahlen sind 2, 4, 6, ..., 2n, und ihre Summe ist n(n + 1) .
Wie viele gerade Zahlen gibt es von 1 bis n?
Von 1 bis n gibt es floor(n / 2) positive gerade Zahlen.
Wie groß ist die Summe der geraden Zahlen bis 100?
Von 2 bis 100 gibt es 50 gerade Zahlen. Die Summe beträgt 50 × 51 = 2.550.
Ist die Summe gerader Zahlen immer gerade?
Ja. Da jede gerade Zahl durch 2 teilbar ist, ergibt auch die Addition beliebig vieler gerader Zahlen wieder eine gerade Zahl.
Bezieht der Rechner die 0 mit ein?
Die Eingabe darf 0 sein. Der Rechner definiert „gerade Zahlen bis n“ hier jedoch als die positiven geraden Zahlen 2, 4, 6 usw. Daher beträgt das Ergebnis für n = 0 den Wert 0. Würde man die 0 einbeziehen, würde sich die Summe nicht ändern.
Kann ich die Summe zwischen zwei Zahlen berechnen?
Ja. Wählen Sie „Summe gerader Zahlen zwischen zwei Zahlen“ und geben Sie den unteren und oberen Endpunkt ein. Ungerade Endpunkte werden automatisch berücksichtigt.
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