Summen von Potenzen Rechner

Berechnen Sie $1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k$ mit Formeln, exakten Ergebnissen und Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

Was ist eine Summe von Potenzen?

Eine Summe von Potenzen addiert aufeinanderfolgende positive ganze Zahlen, nachdem jede Zahl mit demselben Exponenten potenziert wurde. In Sigma-Schreibweise lautet die allgemeine Form:

$$ S_k(n) = \sum_{i=1}^{n}i^k = 1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k $$

Der Wert von $k$ bestimmt die Art der Potenzen, die addiert werden. Für $k=1$ erhält man die Summe der ganzen Zahlen, für $k=2$ die Summe der Quadrate und für $k=3$ die Summe der Kubikzahlen.

Dieser Rechner verwendet direkte Formeln für die ersten Potenzen und berechnet höhere Potenzen Term für Term.

Formeln für Summen von Potenzen

Potenz $k=0$

Summe der nullten Potenzen

$$ \sum_{i=1}^{n}i^0=n $$

Jede von null verschiedene Zahl hoch 0 ergibt 1. Daher gibt es $n$ Terme, deren Summe $n$ beträgt.

Potenz $k=1$

Summe der ersten Potenzen

$$ \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2} $$

Dies ist die bekannte Formel für die Summe der ersten $n$ positiven ganzen Zahlen.

Potenz $k=2$

Summe der Quadrate

$$ \sum_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

Die Formel liefert die Summe $1^2+2^2+\cdots+n^2$.

Potenz $k=3$

Summe der Kubikzahlen

$$ \sum_{i=1}^{n}i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 $$

Die Summe der ersten $n$ Kubikzahlen ist das Quadrat der Summe der ersten $n$ positiven ganzen Zahlen.

Potenz $k=4$

Summe der vierten Potenzen

$$ \sum_{i=1}^{n}i^4 = \frac{ n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) }{30} $$

Mit dieser Formel wird die Summe $1^4+2^4+\cdots+n^4$ berechnet.

Beispiele für Summen von Potenzen

Beispiel 1: $k=1$

$$ 1+2+3+4+5=15 $$

Mit der Formel: \[ \frac{5(6)}{2}=15. \]

Beispiel 2: $k=2$

$$ 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 = 55 $$

Die Formel für die Summe der Quadrate ergibt $55$.

Beispiel 3: $k=3$

$$ 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = 225 $$

Dies entspricht auch: \[ (1+2+3+4+5)^2=15^2=225. \]

Summen von Potenzen und Sigma-Schreibweise

Der griechische Buchstabe Sigma, $\Sigma$, wird häufig verwendet, um eine Summe darzustellen. Statt jeden einzelnen Term auszuschreiben, kann man schreiben:

$$ \sum_{i=1}^{n}i^k $$

Die untere Grenze $i=1$ gibt an, wo die Summation beginnt, während $n$ die obere Grenze darstellt. Der Exponent $k$ bestimmt die Potenz, mit der jede ganze Zahl versehen wird.

Zum Beispiel:

$$ \sum_{i=1}^{5}i^3 = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = 225 $$

Höhere Potenzen und die Faulhabersche Formel

Für jede feste nichtnegative ganze Zahl $k$ kann die Summe \[ 1^k+2^k+\cdots+n^k \] als Polynom in $n$ dargestellt werden. Diese Formeln werden häufig mit der Faulhaberschen Formel in Verbindung gebracht.

$$ \sum_{i=1}^{n}i^k $$

Das Polynom wird mit zunehmendem $k$ komplizierter. Aus diesem Grund verwendet der Rechner die bekannten geschlossenen Formeln für die Potenzen 0 bis 4 und führt für höhere Potenzen eine direkte exakte Summation durch.

Bei großen Werten von $n$ und höheren Potenzen kann eine direkte Berechnung deutlich mehr Rechenaufwand erfordern als eine geschlossene Formel.

So verwenden Sie den Rechner für Summen von Potenzen

Geben Sie die obere Grenze $n$ ein, zum Beispiel $10$.
Geben Sie den Exponenten $k$ ein, zum Beispiel $2$ oder $3$.
Klicken Sie auf Summe der Potenzen berechnen.
Der Rechner zeigt den mathematischen Ausdruck und das exakte Ergebnis an.
Für unterstützte niedrige Potenzen zeigt die Seite außerdem die verwendete Formel und die einzelnen Berechnungsschritte.

Wenn Sie beispielsweise $n=10$ und $k=2$ eingeben, wird berechnet: \[ 1^2+2^2+\cdots+10^2=385. \]

FAQ zu Summen von Potenzen

Was ist die Formel für eine Summe von Potenzen?

Die allgemeine Summe von Potenzen wird geschrieben als \[ \sum_{i=1}^{n}i^k. \] Für jede feste nichtnegative ganze Zahl $k$ kann diese Summe durch ein Polynom in $n$ dargestellt werden.

Was ist die Formel für $1+2+\cdots+n$?

Die Formel lautet: \[ \frac{n(n+1)}{2}. \] Sie beschreibt die Summe der ersten $n$ positiven ganzen Zahlen.

Was ist die Formel für die Summe der Quadrate?

Die Summe der ersten $n$ Quadrate lautet: \[ \sum_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]

Was ist die Formel für die Summe der Kubikzahlen?

Die Summe der ersten $n$ Kubikzahlen lautet: \[ \sum_{i=1}^{n}i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2. \]

Was ist die Summe der vierten Potenzen?

Die Summe der ersten $n$ vierten Potenzen lautet: \[ \sum_{i=1}^{n}i^4 = \frac{ n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) }{30}. \]

Was bedeutet $k$ bei einer Summe von Potenzen?

Die Variable $k$ ist der Exponent, der auf jede ganze Zahl angewendet wird. Zum Beispiel bedeutet $k=2$ Quadrate, während $k=3$ Kubikzahlen bedeutet.

Kann dieser Rechner Potenzen größer als 4 berechnen?

Ja. Für $k>4$ berechnet der Rechner die Terme $1^k,2^k,\ldots,n^k$ direkt und addiert sie mithilfe einer exakten Ganzzahlarithmetik, sofern BCMath verfügbar ist.