Nähern Sie uneigentliche Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen oder Singularitäten an den Endpunkten numerisch an. Geben Sie \(f(x)\), die untere und obere Grenze sowie die numerische Auflösung ein, um eine Näherung zu berechnen und deren Stabilität zu überprüfen.
Geben Sie einen Ausdruck ein, zum Beispiel 1/x^2, exp(-x) oder 1/sqrt(x).
Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, das nicht direkt als gewöhnliches Integral über ein endliches Intervall ausgewertet werden kann, weil entweder das Integrationsintervall unendlich ist oder die Funktion an einem Punkt des Intervalls unbeschränkt oder nicht definiert wird.
Zum Beispiel:
hat eine unendliche obere Integrationsgrenze. Es wird mithilfe eines Grenzwerts definiert:
Ebenso ist ein Integral wie
uneigentlich, weil die Funktion für \(x\to0^+\) unbeschränkt wird.
Es gibt mehrere häufige Arten von Integralen über unendliche Intervalle.
Bei solchen Integralen ist besondere Vorsicht erforderlich, da die Konvergenz auf beiden Seiten betrachtet werden muss.
sofern die beiden uneigentlichen Integrale jeweils separat konvergieren.
Ein Integral kann auch uneigentlich sein, wenn die Funktion an einem Endpunkt nicht definiert oder unbeschränkt ist.
Zum Beispiel:
ist uneigentlich, weil \(1/\sqrt{x}\) bei \(x=0\) unbeschränkt wird.
Es ist wichtig, zwischen dem Verhalten der Funktion und der Konvergenz des Integrals zu unterscheiden. Eine Funktion kann an einem Endpunkt unendlich werden, während die Fläche des uneigentlichen Integrals trotzdem endlich bleibt.
Dies ist ein konvergentes uneigentliches Integral.
Die Exponentialfunktion nimmt schnell genug ab, sodass das Integral konvergiert.
Obwohl der Integrand bei null unbeschränkt wird, ist das uneigentliche Integral endlich.
Dieses Integral divergiert, weil sein Wert unbegrenzt wächst und sich keinem endlichen Grenzwert nähert.
Ein uneigentliches Integral konvergiert, wenn der zu seiner Definition gehörende Grenzwert existiert und endlich ist.
Es divergiert, wenn der Grenzwert nicht existiert oder unendlich wird.
Numerische Integration kann nützliche Hinweise über das Verhalten eines Integrals liefern. Numerische Stabilität sollte jedoch nicht mit einem mathematischen Konvergenzbeweis verwechselt werden.
Bei wichtigen theoretischen Problemen sollten zusätzlich zur numerischen Berechnung analytische Konvergenzkriterien verwendet werden.
Der Rechner unterstützt:
sqrt(x)
abs(x)
sin(x),
cos(x),
tan(x)
exp(x)
ln(x) und log(x)
pi und e
Beispiele sind
1/x^2,
exp(-x),
1/sqrt(x)
und
sin(x)/x.
Für reguläre endliche Intervalle verwendet der Rechner die zusammengesetzte Simpson-Regel.
Unendliche Intervalle werden in endliche numerische Intervalle transformiert. Singularitäten an den Endpunkten werden mithilfe von Variablentransformationen behandelt, bevor die numerische Integration durchgeführt wird.
Der Rechner wiederholt die Berechnung außerdem mit einer geringeren numerischen Auflösung, um nach signifikanten Veränderungen des Ergebnisses zu suchen.
Ein uneigentliches Integral ist ein Integral mit einer unendlichen Integrationsgrenze oder einer Funktion, die an einem Punkt des Integrationsintervalls unbeschränkt oder nicht definiert ist.
Uneigentliche Integrale werden mithilfe von Grenzwerten definiert. Für eine numerische Berechnung kann das unendliche Intervall oder der singuläre Endpunkt in ein endliches numerisches Intervall transformiert und anschließend angenähert werden.
Ja. Beispiele sind Integrale von einer endlichen Zahl bis unendlich, von minus unendlich bis zu einer endlichen Zahl sowie von minus unendlich bis plus unendlich.
Ja. Ein Integral kann beispielsweise eine Funktion wie 1/sqrt(x) enthalten, deren Wert an einem Endpunkt unbeschränkt wird, während das uneigentliche Integral selbst trotzdem konvergieren kann.
Nein. Eine numerische Näherung kann auf Stabilität hindeuten, aber Konvergenz ist eine mathematische Eigenschaft, die möglicherweise eine analytische Untersuchung erfordert. Dieser Rechner liefert daher eine numerische Näherung und eine einfache Stabilitätsprüfung, aber keinen Konvergenzbeweis.
Der Rechner unterstützt Rechenoperationen, Potenzen, x, pi, e, Quadratwurzel, Absolutwert, Sinus, Kosinus, Tangens, Exponentialfunktion, natürlichen Logarithmus und Logarithmus.