Teilersummenrechner
Berechne die Summe aller positiven Teiler einer ganzen Zahl. Finde jeden Teiler, bestimme die Anzahl der Teiler, berechne die Summe der echten Teiler, zerlege die Zahl in Primfaktoren und bestimme, ob sie vollkommen, abundant oder defizient ist.
Was ist die Teilersumme?
Die Teilersumme einer positiven ganzen Zahl ist die Summe aller ihrer positiven Teiler einschließlich 1 und der Zahl selbst.
In der Zahlentheorie wird diese Funktion als Teilersummenfunktion bezeichnet und als \(\sigma(n)\) geschrieben.
Die positiven Teiler von 12 sind beispielsweise:
Daher gilt:
Dieser Rechner findet die Teiler automatisch und berechnet ihre Summe, sodass du sie nicht von Hand bestimmen musst.
Formel für die Teilersumme
Wenn die Primfaktorzerlegung von \(n\) bekannt ist, kann die Teilersumme berechnet werden, ohne jeden einzelnen Teiler aufzulisten.
Angenommen:
Dann gilt:
Dies entspricht der Multiplikation der geometrischen Summen:
Beispiele für Teilersummen
Beispiel 1: Teilersumme von 6
Die positiven Teiler von 6 sind:
Daher gilt:
Die echten Teiler sind 1, 2 und 3:
Daher ist 6 eine vollkommene Zahl.
Beispiel 2: Teilersumme von 12
Die positiven Teiler sind:
Die echten Teiler ergeben zusammen:
Da 16 größer als 12 ist, ist 12 eine abundante Zahl.
Beispiel 3: Teilersumme einer Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: 1 und die Zahl selbst.
Daher gilt für eine Primzahl \(p\):
Zum Beispiel:
Beispiel 4: Teilersumme von 28
Die positiven Teiler von 28 sind:
Die echten Teiler ergeben zusammen:
Daher ist auch 28 eine vollkommene Zahl.
Verwandte Begriffe zu Teilern
Anzahl der Teiler \( \tau(n) \)
Die Teileranzahlfunktion, üblicherweise als \(\tau(n)\) oder \(d(n)\) geschrieben, gibt die Anzahl der positiven Teiler von \(n\) an.
Teilersummenfunktion \( \sigma(n) \)
Die Teilersummenfunktion \(\sigma(n)\) gibt die Summe aller positiven Teiler von \(n\) an.
Echte Teiler
Echte Teiler sind alle positiven Teiler außer der Zahl selbst.
Aliquotensumme
Die Aliquotensumme ist die Summe der echten Teiler:
Vollkommene Zahlen
Eine vollkommene Zahl entspricht der Summe ihrer echten Teiler. Die erste vollkommene Zahl ist 6.
Abundante Zahlen
Eine abundante Zahl hat eine Summe der echten Teiler, die größer als die Zahl selbst ist. Die kleinste abundante Zahl ist 12.
Defiziente Zahlen
Eine defiziente Zahl hat eine Summe der echten Teiler, die kleiner als die Zahl selbst ist. Jede Primzahl ist defizient.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Teilersumme?
Die Teilersumme ist die Summe aller positiven Teiler einer Zahl einschließlich 1 und der Zahl selbst. Sie wird durch \(\sigma(n)\) dargestellt.
Wie berechnet man die Teilersumme?
Du kannst alle positiven Teiler einer Zahl bestimmen und addieren. Alternativ kann die Teilersummenformel, sofern die Primfaktorzerlegung bekannt ist, \(\sigma(n)\) direkt aus den Primfaktoren berechnen.
Wie lautet die Formel für die Teilersumme?
Wenn \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\), dann gilt:
Was sind echte Teiler?
Echte Teiler sind alle positiven Teiler einer Zahl außer der Zahl selbst.
Was ist die Aliquotensumme?
Die Aliquotensumme ist die Summe der echten Teiler. Sie wird berechnet als:
Was ist eine vollkommene Zahl?
Eine vollkommene Zahl ist eine positive ganze Zahl, deren echte Teiler zusammen genau die Zahl selbst ergeben. Zum Beispiel ist 6 vollkommen, weil \(1+2+3=6\).
Was ist eine abundante Zahl?
Eine abundante Zahl hat eine Summe der echten Teiler, die größer als die Zahl selbst ist. Zum Beispiel ist 12 abundant, weil:
Was ist eine defiziente Zahl?
Eine defiziente Zahl hat eine Summe der echten Teiler, die kleiner als die Zahl selbst ist.
Was bedeutet \( \sigma(n) \)?
\(\sigma(n)\) ist die Standardnotation für die Teilersummenfunktion. Sie gibt die Summe aller positiven Teiler von \(n\) an.
Was bedeutet \( \tau(n) \)?
\(\tau(n)\) wird häufig für die Teileranzahlfunktion verwendet. Sie gibt die Anzahl der positiven Teiler von \(n\) an.
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